cap_2_p_09

=Capítulo 2, Problema 9=

Hallar la probabilidad de que un pilote llegue al lecho rocoso a n pies de profundidad y sin encontrar roca, si la probabilidad de encontrar roca en un tramo de un pie cualquiera es p y la presencia de rocas a niveles diferentes de 1 pie, son sucesos mutuamente independientes.

Calcular esta probabilidad para p=1/20 y n=10 y 20 pies, y para p=1/10 y n=10 y 20 pies. Nótese que aun en el último caso, no es seguro dar con roca.

Solución
La probabilidad de no encontrar roca en el a la profundidad i-ft, R_i^c es math P[R_i^c] = 1-p math

Ahora, la probabilidad que el pilote llegue al lecho rocoso es igual a la probabilidad que no halla roca en el nivel 1 ft y de no encontrar roca en el nivel 2 ft, ... y de no encontrar roca en el nivel i-ft, ..., y de no encontrar roca en el nivel n-ft. Es decir:

math P[\text{penetrar pilote a n pies}] = P[R_1^c \cap R_2^c \cap \cdots \cap R_i^c \cap \cdots \cap R_n^c] math

Simplifiquemos el problema suponiendo que n=4. Usando el teorema de probabilidades condicionales se tiene que: math = P[R_1^c \cap R_2^c \cap R_3^c \cap R_4^c] math math = P[R_1^c | R_2^c \cap R_3^c \cap R_4^c] P[ R_2^c \cap R_3^c \cap R_4^c] math math = P[R_1^c | R_2^c \cap R_3^c \cap R_4^c] P[ R_2^c | R_3^c \cap R_4^c] P[R_3^c \cap R_4^c] math math = P[R_1^c | R_2^c \cap R_3^c \cap R_4^c] P[ R_2^c | R_3^c \cap R_4^c] P[R_3^c | R_4^c] P[R_4^c] math (ecuación 1)

Pero como los sucesos R_i^n son mutuamente independientes se tiene que math P[R_1^c | R_2^c \cap R_3^c \cap R_4^c] = P[R_1^c] math math P[R_2^c | R_3^c \cap R_4^c] = P[R_2^c] math math P[R_3^c | R_4^c] = P[R_3^c] math

Reemplazando los anteriores valores en la ecuación 1 se tiene que math P[\text{penetrar pilote a 4 pies}] = P[R_1^c]P[R_2^c]P[R_3^c]P[R_4^c] math math P[\text{penetrar pilote a 4 pies}] = (1-p)(1-p)(1-p)(1-p) math

Generalizando tenemos que la probabilidad de penetrar el pilote a n pies está dada por: math P[\text{penetrar pilote a n pies}] = (1-p)^n math

Por lo tanto, math P[\text{penetrar pilote a 10 pies}] = (1-0.05)^{10} = 0.59874 math
 * La probabilidad de penetrar el pilote a 10 pies dado que p = 1/20 está dado por

math P[\text{penetrar pilote a 10 pies}] = (1-0.05)^{20} = 0.35849 math
 * La probabilidad de penetrar el pilote a 20 pies dado que p = 1/20 está dado por

math P[\text{penetrar pilote a 10 pies}] = (1-0.10)^{10} = 0.34868 math
 * La probabilidad de penetrar el pilote a 10 pies dado que p = 1/10 está dado por

math P[\text{penetrar pilote a 20 pies}] = (1-0.10)^{20} = 0.12158 math Nótese que aun en el último caso, no es seguro dar con roca.
 * La probabilidad de penetrar el pilote a 10 pies dado que p = 1/20 está dado por

Solucionado por:

 * Diego Andrés Alvarez Marín