cap_4_mont_p_50

OK PUNTOS 0.875


 * Capítulo 4, Problema 50**

Determine la función de distribución acumulada de una variable aleatoria binomial, con: math n=3 ; p=\frac{1}{2} math


 * Solución**

X es una variable binomial con: math n=3 ; p=\frac{1}{2} math Con estos parámetros podemos utilizar la función de distribucion binomial: math p_X\left( x \right)= \dbinom{n}{x}p^{x}\left ( 1-p \right )^{n-x }, x= 0,1,2,3,..........,n math Ahora para la función de distribución acumulada decimos que: math x= \left \{ 0, 1, 2, 3 \right \} math math F_X\left ( x \right )= P\left ( X\leq x \right )= \sum_{xi\leq x}^{}p\left ( xi \right ) math Ahora: math \\ P\left ( X\leq 0 \right )=p\left ( X= 0 \right )=\\ =\binom{3}{0}\frac{1}{2}^{0}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-0 }=\frac{1}{8}\\ \\ P\left ( X\leq 1 \right )=p\left ( X= 0 \right )+p\left ( X= 1 \right )=\\ =\binom{3}{0}\frac{1}{2}^{0}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-0 }+\binom{3}{1}\frac{1}{2}^{1}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-1 }=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}\\ \\ P\left ( X\leq 2 \right )=p\left ( X= 0 \right )+p\left ( X= 1 \right )+p\left ( X= 2 \right )=\\ \binom{3}{0}\frac{1}{2}^{0}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-0 }+\binom{3}{1}\frac{1}{2}^{1}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-1 }+\binom{3}{2}\frac{1}{2}^{2}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-2 }=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}\\ \\ P\left ( X\leq 3 \right )=p\left ( X= 0 \right )+p\left ( X= 1 \right )+p\left ( X= 2 \right )+p\left ( X= 3 \right )=\\ \binom{3}{0}\frac{1}{2}^{0}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-0 }+\binom{3}{1}\frac{1}{2}^{1}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-1 }+\binom{3}{2}\frac{1}{2}^{2}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-2 }+\binom{3}{3}\frac{1}{2}^{3}\left ( 1-\frac{1}{2} \right )^{3-3 }=\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8} math

De esta manera se tiene que la función de distribución acumulada esta dada por:

math \boxed{F(x)= \begin{cases} 0 & \text{si } x< 0 \\ \frac{1}{8} & \text{si } x< 1 \\ \frac{4}{8} & \text{si } x< 2 \\ \frac{7}{8} & \text{si } x< 3 \\ 1 & \text{si } x\geq 3 \end{cases}} math

Solucionado por:

 * Carlos Eduardo Zapata
 * Iván Camilo Morales Buitrago