cap_1_p_03

=Capítulo 1, Problema 3=

En una losa de concreto pretensado se midieron en ambos cables, recto y curvo, las fuerzas de tensionamiento y anclaje. El objetivo del estudio fue el de obtener cálculos de la influencia de la fricción y de la curvatura. Los datos se dan en términos de la relación entre la fuerza de tensionamiento a la de anclaje. Para cada conjunto de datos, calcular la media y la varianza muestrales. Construir histogramas, distribuciones de frecuencia y distribuciones de frecuencia acumuladas. Si se supone que las fuerzas de tensionamiento son constantes, ¿Qué se puede decir acerca de la influencia de la curvatura nominal sobre la perdida de rozamiento?

SOLUCIÓN HECHA EN EXCEL


Miremos un bosquejo de como se soluciono el problema:

Fa=Frecuencia absoluta Son los datos que nos dan en el problema

Fr=Frecuencia relativa Es el cociente entre cada una de los datos de Fa y la sumatoria de todos los datos de Fa

Faa= Frecuencia absoluta acumulada, se calcula de la siguiente manera: En la primera casilla se pone el valor de Fa, para la segunda, es la primera casilla de la columna Faa mas la segunda casilla del Fa. y así sucesivamente se completa la columna Faa.

Fra=Frecuencia relativa acumulada, se calcula de la misma forma que en Faa, pero se debe hacer es con la columna de Fr.

(X-Xprom)^2= Esto se hace con el fin de calcular la varianza muestral, se calcula para cada dato y luego se hace la sumatoria de esta.

Para la media utilizamos:

math \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i math

donde Xi=21.2537

Varianza muestral math s^2=\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n} x_i^2-n\bar{x}^2) math

donde n=12

Los histogramas aparecen en el archivo de EXCEL adjunto.

Solucionada por:
 * Sebastian Osorio Gaitan

SOLUCIÓN HECHA EN MATLAB
En una losa de concreto pretensado se midieron en ambos cables, recto y curvo, las fuerzas de tensionamiento y anclaje. El objetivo del estudio fue el de obtener cálculos de la influencia de la fricción y de la curvatura. Los datos se dan en términos de la relación entre la fuerza de tensionamiento a la de anclaje. Para cada conjunto de datos, calcular la media y la varianza muestrales. Construir histogramas, distribuciones de frecuencia y distribuciones de frecuencia acumuladas. Si se supone que las fuerzas de tensionamiento son constantes, ¿Qué se puede decir acerca de la influencia de la curvatura nominal sobre la pérdida de rozamiento?


 * = CABLES RECTOS ||= CABLES CURVOS ||
 * = 1.6609 ||= 2.0464 ||
 * = 1.5497 ||= 1.7496 ||
 * = 1.7190 ||= 2.0464 ||
 * = 1.6534 ||= 1.8487 ||
 * = 1.7446 ||= 2.1328 ||
 * = 1.4954 ||= 1.9250 ||
 * = 1.6836 ||= 2.5022 ||
 * = 1.4882 ||= 2.0830 ||
 * = 2.0811 ||= 2.4280 ||
 * = 1.9819 ||= 2.1375 ||
 * = 2.1898 ||= 2.6610 ||
 * = 2.0061 ||= 2.3679 ||
 * =  ||= 2.6045 ||
 * =  ||= 2.3011 ||
 * =  ||= 2.8134 ||
 * =  ||= 2.4206 ||

Solución:
code format="matlab" cablesrectos=[1.6609 1.5497 1.719 1.6534 1.7446 1.495 1.6836 1.4882 2.0811 1.9819 2.1898 2.0061] cablescurvos=[2.0464 1.7496 2.0464 1.8487 2.1328 1.925 2.5022 2.083 2.428 2.1375 2.661 2.3679 2.6045 2.3011 2.8134 2.4206] code

Cálculo de la Media
Luego se hallan las medias para cada arreglo de datos con la fórmula:

math \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i math

Resultado: code format="matlab" mean(cablescurvos) code ans = 2.2543 UNIDADES

code format="matlab" mean(cablesrectos) code ans = 1.7711 UNIDADES

Cálculo de la varianza muestral
Luego se hallan las varianzas muestrales para cada muestra con la siguiente fórmula:

math s^2=\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n} x_i^2-n\bar{x}^2) math

Resultado: code format="matlab" var(cablescurvos) code ans = 0.0938 UNIDADES^2

code format="matlab" var(cablesrectos) code ans = 0.0558 UNIDADES^2


 * HISTOGRAMAS:

Número 1**

code format="matlab" hist(cablesrectos,4) xlabel('Fuerzas de tensionamiento y anclaje para cables rectos'); ylabel('Número de observaciones'); title('Histograma de Fuerzas sobre losas de concreto para cables rectos'); code



Número 2:

code format="matlab" hist(cablescurvos,4) xlabel('Fuerzas de tensionamiento y anclaje para cables curvos'); ylabel('Número de observaciones'); title('Histograma de Fuerzas medidas en cables curvos de losas de concreto'); code




 * DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA:**

Número 1:

code format="matlab" f=hist(cablescurvos,4); fr=f./sum(f); lim_cablescurvos=linspace(min(cablescurvos),max(cablescurvos),5) code lim_cablescurvos = 1.7496 2.0156 2.2815 2.5475 2.8134

code format="matlab" intervalo=diff(lim_cablescurvos)./2; % hallamos el ancho de cada intervalo del histograma y lo dividimos entre dos lim_cablescurvos=[intervalo 0]+lim_cablescurvos % sumamos el vector 'intervalo' a cada límite de los intervalos para cables curvos y así obtenemos las coordenadas de los puntos medios de cada ancho de clase para graficar la distribución de frecuencia code lim_cablescurvos = 2.0156 2.2815 2.5475 2.8134 2.8134 code format="matlab" lim_cablescurvos=[1.7496 lim_cablescurvos] code code format="matlab" lim_cablescurvos = 1.7496 2.0156 2.2815 2.5475 2.8134 2.8134 code

code format="matlab" fr=[0 fr 0]; plot(lim_cablescurvos,fr) grid on xlabel('Fuerzas sobro cables curvos en una losa de concreto pretensado'); ylabel('Frecuencia Relativa'); title('Distribucion de frecuencia'); code

Número 2:

code format="matlab" f=hist(cablesrectos,4); fr=f./sum(f); lim_cablesrectos=linspace(min(cablesrectos),max(cablescurvos),5) code lim_cablesrectos = 1.4882 1.8195 2.1508 2.4821 2.8134

code format="matlab" intervalo=diff(lim_cablesrectos)./2; %se hallan los anchos de clase para cada intervalo como en la gráfica anterior intervalo=[intervalo 0]; lim_cablesrectos=lim_cablesrectos+intervalo %análogo a la gráfica anterior code lim_cablesrectos = 1.8195 2.1508 2.4821 2.8134 2.8134

code format="matlab" lim_cablesrectos= [1.4882 lim_cablesrectos]; fr=[0 fr 0]; plot(lim_cablesrectos,fr); grid on xlabel('Fuerzas sobre cables rectos en losas de concreto pretensado'); ylabel('Frecuencia relativa'); title('Distribución de frecuencia relativa'); code


 * DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA

Número 1:**

code format="matlab" frecurvos=hist(cablescurvos,4); frcurvos=frecurvos./sum(frecurvos); frcurvos=[0 frcurvos]; fracurvos=cumsum(frcurvos); limcurvos=linspace(min(cablescurvos),max(cablescurvos),5); plot(fracurvos,limcurvos); plot(limcurvos,fracurvos); xlabel('Fuerza medida sobre los cables curvos de una losa de concreto pretensada'); ylabel('Frecuencia relativa acumulada'); title('Distribución de frecuencia acumulada'); code

Número 2: code format="matlab" frectos=hist(cablesrectos,4); frrectos=frectos./sum(frectos); frarectos=[0 cumsum(frrectos)]; limrectos=linspace(min(cablesrectos),max(cablesrectos),5); plot(limrectos,frarectos); xlabel('Fuerza medida sobre cables rectos en una losa de concreto pretensado'); ylabel('Frecuencia relativa acumulada'); title('Distribución de frecuencia relativa'); code



SOLUCIONADO POR:

 * Daniela Romero Meza.
 * Santiago Quintero
 * Juan Jacobo Zuluaga