cap_4_mont_p_68

OK. PUNTOS 0.6

=CAPITULO 4, PROBLEMA 68=

Demuestre que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa es igual a la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria geométrica cuando r=1. Demuestre que la fórmula de la media y la varianza de una variable binomial negativa es igual a los resultados correspondientes para una variable aleatoria geométrica cuando r=1.


 * Solución:**

a)

La FDP geométrica es: math f[x;p] = (1-p)^{(x-1)}p math

La FDP binomial negativa es: math f[x;p;r] = \dbinom{x-1}{r-1}(1-p)^{(x-r)}p^r math

Si tenemos r=1 en la FDP binomial negativa tenemos:

math \\ \\ f[x;p;1] = \dbinom{x-1}{1-1}(1-p)^{(x-1)}p^1\\ \\ \\ f[x;p;1] = \dbinom{x-1}{0}(1-p)^{(x-1)}p\\ \\ \\ \dbinom{x-1}{0}= \frac{(x-1)!}{0!(x-1-0)!} = \frac{(x-1)!}{(x-1)!}=1\\ \\ \\ \text{por lo tanto}\\ \\ f[x;p;1] = (1-p)^{(x-1)}p\\ \\ f[x;p] = (1-p)^{(x-1)}p\\ \\ math Por lo que podemos decir que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa es igual a la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria geométrica cuando r=1

b)

Media y la varianza de una variable geométrica: math \\ \upsilon_{(x)}=E(X)=\frac{1}{p}\\ \\ \sigma^2=\frac{(1-p)}{p^2}\\ \\ math Media y la varianza de una variable binomial negativa: math \\ \upsilon_{(x)}=E(X)=\frac{r}{p}\\ \\ \sigma^2=\frac{r(1-p)}{p^2}\\ \\ math Si tenemos a r=1 tenemos: math \\ \upsilon_{(x)}=E(X)=\frac{1}{p}\\ \\ \sigma^2=\frac{(1-p)}{p^2}\\ \\ math Siendo la media y la varianza de una variable binomial negativa igual a los resultados correspondientes para una variable aleatoria geométrica cuando r=1


 * Resuelto por Grupo 3:**
 * José Andrés Russi Molina
 * María Natalia Idárraga Arias
 * Diana Paola Sánchez Herrera