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Capítulo 2, Problema 13
Se planea una gran presa, y el ingeniero se interesa en la cantera de grava fina para el concreto. Una posible cantera cercana al lugar es difícil de reconocer exactamente. Por indicaciones de la superficie y de un solo pozo de sondeo, el ingeniero cree que la magnitud de la cantera tiene las siguientes descripciones posibles: 50 por ciento adecuado; adecuado; o 150 por ciento de posible demanda. Asigna las siguientes probabilidades a estos estados:

Antes de hacer un segundo pozo de sondeo, decide que las diferentes probabilidades de las posibles indicaciones de la muestra (Z1, Z2,Z3) dependen del verdadero estado (desconocido) como se indica a continuación:
 * ESTADO || PROBABILIDAD ||
 * 50% adecuado || 0.5 ||
 * Adecuado || 0.4 ||
 * 150% de demanda || 0.1 ||
 * ~  || 1.0 ||

P[indicación de la muestra | estado]
 * || 50% || Adecuado || 150% ||
 * Z1, que favorece al 50% || 0.50 || 0.40 || 0.20 ||
 * Z2, que favorece al 100% || 0.40 || 0.50 || 0.40 ||
 * Z3, que favorece al 150% || 0.10 || 0.10 || 0.40 ||
 * ~  || 1.00 || 1.00 || 1.00 ||

¿Cuáles son las probabilidades de observar los diferentes sucesos Z1, Z2, Z3?

Utilizando el teorema de Bayes encontramos las probabilidades para cada suceso dependiendo de cada estado:

math P[Bj|A] = \frac {P[A|Bj] P[Bj]}{\sum P[A|Bi] P[Bi]} math

Para Z1: math P[50|Z1] = \frac {P[Z1|50] P[50]}{\sum P[Z1|50] P[50]} = \frac {0.50*0.5}{(0.50)(0.5)+(0.4*0.4)+(0.2*0.1)} = \frac {0.25}{0.43}\ = 0.581 math

Análogamente: math P[Adec|Z1] = \frac {0.4*0.4}{0.43} = \frac {0.16}{0.43}\ = 0.372 math math P[150|Z1] = \frac {0.2*0.1}{0.43} = \frac {0.02}{0.43}\ = 0.047 math

Para Z2: math P[50|Z2] = \frac {P[Z2|50] P[50]}{\sum P[Z2|50] P[50]} = \frac {0.4*0.5}{(0.4)(0.5)+(0.5)(0.4)+(0.4)(0.1)} = \frac {0.2}{0.44}\ = 0.455 math

Análogamente: math P[Adec|Z2] = \frac {0.5*0.4}{0.44}\ = 0.455 math math P[150|Z2] = \frac {0.4*0.1}{0.44}\ = 0.091 math

Para Z3: math P[50|Z3] = \frac {P[Z3|50] P[50]}{\sum P[Z3|50] P[50]} = \frac {0.1*0.5}{(0.1)(0.5)+(0.1)(0.4)+(0.4)(0.1)} = \frac {0.05}{0.13}\ =0.384 math

Análogamente: math P[Adec|Z3] = \frac {0.1*0.4}{0.13}\ = 0.308 math math P[150|Z3] = \frac {0.4*0.1}{0.13}\ = 0.308 math

Se cava el segundo pozo de sondeo y la fuente aparece adecuada en este pozo. Calcular las probabilidades a posteriori de estado. Si otro pozo de sondeo da el mismo resultado, calcular el segundo conjunto de probabilidades de estado a posteriori. Comprar las probabilidades de estado a priori y a posteriori.

Usando nuevamente el teorema de Bayes, calcularemos el primer conjunto de probabilidades a posteriori, tomando como probabilidades a priori las obtenidas en el procedimiento anterior para el suceso Z1:

math P[50|Z2] = \frac {0.40*0.581}{(0.40)(0.581)+(0.50)(0.372)+(0.40)(0.047)} \frac {0.232}{0.437}\ = 0.531 math math P[Adec|Z2] = \frac {0.50*0.372}{0.437}\ = 0.426 math math P[150|Z2] = \frac {0.4*0.047}{0.437}\ = 0.043 math

Ahora calcularemos el segundo conjunto de probabilidades de estado a posteriori, tomando como probabilidades de estado a priori las obtenidas en el procedimiento anterior:

math P[50|Z3] = \frac {0.10*0.531}{(0.10)(0.531)+(0.10)(0.426)+(0.40)(0.043)} \frac {0.053}{0.113}\ = 0.470 math math P[Adec|Z3] = \frac { 0.10*0.426}{0.113}\ = 0.377 math math P[150|Z3] = \frac {0.40*0.043}{0.113}\ = 0.152 math

Con el teorema de Bayes podemos seguir encontrando probabilidades de estado, siempre y cuando tengamos la información para obtenerlas, ya que obtuvimos al principio las probabilidades a posteriori para el suceso Z1, y éstas después se utilizaron como probabilidades a posteriori para obtener de nuevo otras probabilidades.

SOLUCIONADO POR:


 * Andrés Melo Duque
 * Claudia Naranjo Henao