cap_5_mont_p_18

OK PUNTOS 0.7

=Capítulo 5, Problema 18=

Determine la función de densidad de probabilidad para cada una de las funciones de distribución acumulada siguientes:

math F(x)= \begin{cases} 0 & \ x< -2\\ 0,25x+0,5& \ -2\leq x<1 \\ 0,5x+0,25& \ 1\leq x<1,5 \\ 1 & \ 1,5\leq x\\ \end{cases} math

Para obtener la función de densidad de probabilidades f(x), se debe derivar la función de distribución acumulada F(x). math \frac {\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d} x} math Entonces derivando cada elemento de F(x) con respecto a x; tenemos:

math \frac {\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d} x} = \frac {\mathrm{d} 0}{\mathrm{d} x} = 0 math math \frac {\mathrm{d} F(x)}{\mathrm{d} x} = \frac {\mathrm{d} (0.25x+0.5) }{\mathrm{d} x} = 0,25 math math \frac {\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d} x} = \frac {\mathrm{d} (0.5x+0.25) }{\mathrm{d} x} = 0,5 math math \frac {\mathrm{d} F(x)}{\mathrm{d} x} = \frac {\mathrm{d} (1) }{\mathrm{d} x} = 0 math Dando de esta manera origen a la funcion de densidad de probabilidades f(x), la cual es:

math f_X(x)= \begin{cases} 0 & \ x< -2\\ 0,25& \ -2\leq x<1 \\ 0,5& \ 1\leq x<1,5 \\ 0 & \ 1,5\leq x\\ \end{cases} math

Para comprobar que la función anterior es una función de densidad de probabilidades continua, efectuamos las correspondientes integrales cuya suma será igual a 1.

math \int_{-2}^{1}0,25dx + \int_{1}^{1,5}0,5dx = \left.\0,25x\right|_{x=-2}^{x=1} math math = [0,25-0,25(-2)] + [0,5(1,5)-0,5(1)] = \boxed{1}\quad\\ math

Solucionado por:
 * Cristian Eduardo Polo C.
 * Héctor Julio Rivera A.
 * Felipe Uribe C.