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Se ha propuesto el siguiente "modelo de urna" para simular la ocurrencia (bola negra) o no (bola roja) de lluvias en días sucesivos. Hay tres urnas: la "urna inicial" que contiene R1 bolas negras y N1 bolas rojas, la "urna seca" que contiene R2 negras y N2 rojas, y la "urna lluviosa" que contiene R3 negras y N3 rojas. Para simular una sucesión (muestra), se extrae una bola de la urna inicial, y su color indica si llueve o no llueve el primer día. El tiempo del segundo día se encuentra al muestrear de la urna lluviosa o de la seca, de acuerdo al resultado del día inmmediantamente anterior. Después de cada selección la bola se retorna a su urna. El modelo se ideó para simular la persistencia de períodos lluviosos o secos. Este es un ejemplo de lo que se llama una cadena de Markov. Suponga que las bolas en cualquier urna tienen igual probabilidad de ser sacadas y que N1=20, R1=20, N2=10, R2=90, N3=10 y R3=40.



¿Cuál es la probabilidad que los primeros cuatro días sean lluviosos?
math \\ P\left(R_{d1} \cap R_{d2} \cap R_{d3} \cap R_{d4}\right) \\ = P\left(R_{d4}|R_{d3} \cap R_{d2} \cap R_{d1}\right) P\left(R_{d3}| R_{d2} \cap R_{d1}\right) P\left(R_{d2}|R_{d1}\right) P\left(R_{d1}\right) \\ = P\left(R_{d4}|R_{d3}\right) P\left(R_{d3}| R_{d2}\right) P\left(R_{d2}|R_{d1}\right) P\left(R_{d1}\right) \\ = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = 0.256 math

¿Cuál es la probabilidad que al menos tres días secos antecedan a uno lluvioso?
math \\ P\left(N_{di} \cap N_{di+1} \cap N_{di+2} \cap R_{di+3}\right) \\ = P\left(R_{di+3}|N_{di+2} \cap N_{di+1} \cap N_{di}\right) P\left(N_{di+2}| N_{di+1} \cap N_{di}\right) P\left(N_{di+1}|N_{di}\right) P\left(N_{di}\right) \\ = P\left(R_{di+3}|N_{di+2}\right) P\left(N_{di+2}| N_{di+1}\right) P\left(N_{di+1}|N_{di}\right) P\left(N_{di}\right) \nonumber \\ = \frac{9}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{2} = 0.0045 math

¿Cuál es la probabilidad que haya llovido anteayer dado que hoy no llovió? (hoy es el día cuatro)
math \\ P(R_2|N_4) = \frac{ P(N_4|R_2) P(R_2)}{P(N_4)} math

math \\ P(N_2) = \frac{1}{2} \\ P(R_2) = \frac{1}{2} \\ P(N_3) = P(N_3|R_2)P(R_2) + P(N_3|N_2)P(N_2) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \\ P(R_3) = P(R_3|R_2)P(R_2) + P(R_3|N_2)P(N_2) = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{17}{20} \\ P(N_4) = P(N_4|R_3)P(R_3) + P(N_4|N_3)P(N_3) = \frac{1}{5} \times \frac{17}{20} + \frac{1}{10} \times \frac{3}{20} = \frac{37}{200} math

math \\ P(N_4|R_2) = \\ = P(N_4 \cap (N_3 \cup R_3)|R_2) \\ = P((N_4 \cap N_3) \cup (N_4 \cap R_3))|R_2) \\ = P(N_4 \cap N_3|R_2) + P(N_4 \cap R_3|R_2) \\ = P(N_4|N_3 \cap R_2)P(N_3|R_2) + P(N_4|R_3 \cap R_2)P(R_3|R_2) \\ = P(N_4|N_3)P(N_3|R_2) + P(N_4|R_3)P(R_3|R_2) \\ = \frac{1}{10} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{9}{50} \\ math

math \\ P(R_2|N_4) = \frac{ P(N_4|R_2) P(R_2)}{P(N_4)} = \frac{\frac{9}{50}\times\frac{1}{2}}{\frac{37}{200}} = 0.4865 math

¿Cuál es la probabilidad que el próximo Domingo llueva dado que hoy Viernes no ha llovido?
math \\ P(R_{\text{dom}}|N_{\text{vie}}) &= P(R_{\text{dom}}|R_{\text{sab}})P(R_{\text{sab}}|N_{\text{vie}}) + P(R_{\text{dom}}|N_{\text{sab}})P(N_{\text{sab}}|N_{\text{vie}}) \\ = \frac{4}{5}\frac{9}{10} + \frac{9}{10}\frac{1}{10} = \frac{81}{100} = 0.81 math