Cap_2_p_10

NOTA bkpenac -> 0.6 Lea las observaciones abajo. Si las corrige, les doy los puntos extra

=Capítulo 2, Problema 10=

Considerar la posible falla de un sistema de abastecimiento de aguas para atender la demanda durante un día de verano.


 * a)** Aplicar la ecuación de Probabilidades Totales para determinar la probabilidad de que el suministro sea insuficiente si se conocen las probabilidades dadas en la siguiente tabla:

Gal/día || P(Nivel) P(Ni) || P(Suministro inadecuado | nivel) P(S|Ni) ||
 * || Nivel de Demanda
 * D1 || 100000 gd || 0.6 || 0 ||
 * D2 || 150000 gd || 0.3 || 0.1 ||
 * D3 || 200000 gd || 0.1 || 0.5 ||
 * ||  || 1.0 ||   ||

math \\ P\left [S \right ]=\sum_{i=1}^{n} P\left [S | Ni\right ] P\left [Ni \right ] \\ P\left [S \right ]= P\left [S | N1\right ] P\left [N1 \right ] + P\left [S | N2\right ] P\left [N2 \right ] + P\left [S | N3\right ] P\left [N3 \right ] \\ P\left [S \right ]= 0 \times 0.6+0.1 \times 0.3+0.5 \times 0.1 \\ P\left [S \right ]= 0.08 math

math \\ P\left [Ni | S \right ]= \frac{P\left [S | Ni \right ] P\left [Ni \right ]}{\sum_{i=1}^{n} P\left [S | Ni \right ] P\left [Ni \right ]} \\ P\left [N2 | S \right ]= \frac{P\left [S | N2 \right ] P\left [N2 \right ]}{\sum_{i=1}^{n} P\left [S | N2 \right ] P\left [N2 \right ]} \\ P\left [N2 | S \right ]= \frac{0.1 \times 0.3}{0.08} \\ P\left [N2 | S \right ]= 0.375 math
 * b)** Encontrar la probabilidad de que un nivel de demanda de 150000 Gal/ día sea la "causa" de que el sistema fallara para satisfacer la demanda, si se observó un suministro inadecuado. (Evidentemente, la palabra "causa" no es apropiada en tal situación, pero muchas veces se adopta ésta interpretación del teorema de Bayes; debe usarse con precaución)

No entiendo esta pregunta (mala redacción por parte del traductor?). No entiendo porque hablan del teorema de probabilidades totales aquí. Ese teorema no tiene contexto aquí. No la tendré en cuenta math \\ P\left [T \right ]=\sum_{i=1}^{n} P\left [A | Bi\right ] P\left [Bi \right ] \\ P\left [T \right ]=\sum_{i=1}^{n} P\left [T | F\right ] P\left [F \right ] \\ P\left [T \right ]= 0.08 \times 0.02 \\ P\left [T \right ]= 0.0016 math
 * c)** La probabilidad de que una bomba falle y haga que el sistema falle es de 0.02, independientemente del nivel de demanda. ¿A qué se reduce la ecuación de probabilidades totales, en éste caso de independencia?


 * d)** El sistema puede fallar de una y sólo de una de las tres maneras siguientes:
 * M1, suministro inadecuado;
 * M2, una bomba falle; ó
 * M3, sobrecarga de la planta de purificación.

Tenemos la siguiente información: Gal/día || P(M3=sobrecarga | Nivel) ||
 * Nivel de demanda
 * 100000 || 0 ||
 * 150000 || 0 ||
 * 200000 || 0.1 ||

(Las otras probabilidades son las dadas anteriormente). Encontrar las probabilidades de cada una de las posibles causas (maneras), si una fallla del sistema ocurre cuando el nivel de demanda es 150000 Gal/día. Indicación: Modificar el teorema de Bayes así: math P\left [Bi | A\cap Cj \right ]= \frac{P\left [A | Bi\cap Cj \right ] P\left [Bi | Cj \right ]}{P\left [A | Cj \right ]} math

Donde
 * Bi son las maneras de falla
 * Cj es el nivel de demanda, y
 * A es el suceso que ocurrió una falla.

NO ENTIENDO DE DONDE SALIERON LOS NUMEROS Verificar éste teorema de Bayes "condicional". Puede interpretarse como una aplicación del teorema de Bayes en el espacio muestral condicional (es decir, dado Cj). math \\ P\left [M1 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= \frac{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M1\cap N2 \right ] P\left [M1 | N2]}{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | N2 \right ]} \\ P\left [M1 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= \frac{0.12 \times 0.1}{0.12} \\ P\left [M1 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= 0.1 \\ math

math \\ P\left [M2 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= \frac{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M2\cap N2 \right ] P\left [M2 | N2]}{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | N2 \right ]} \\ P\left [M2 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= \frac{0.12 \times 0.02}{0.12} \\ P\left [M2 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= 0.02 math

AQUI DIVIDIENDO POR CERO Y MULTIPLICANDO POR CERO? OJO OPERACION NO DEFINIDA math \\ P\left [M3 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= \frac{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M3\cap N2 \right ] P\left [M3 | N2]}{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | N2 \right ]} \\ P\left [M3 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= \frac{0.12 \times 0}{0} \\ P\left [M3 | (M1\cup M2\cup M3)\cap N2\right ]= 0 math

FORMULAS INCORRECTAS math \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M1\right ]= \frac{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M1 \right ] \times P\left [M1 | N1]}{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | N1 \right ]} \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M1\right ]=\frac{0.12 \times 0}{0} \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M1\right ]= 0 math
 * e)** ¿Cuáles son las probabilidades de las diferentes causas (maneras), si el nivel de demanda al ocurrir la falla era 100 000 Gal/día? En general, ¿a qué se reduce el teorema de Bayes, si A puede ocurrir si y sólo si Bj ocurre? Obsérvese que el lenguaje determinístico, fenómeno de causa y efecto, la determinación de la cauda mediante la observación del efecto se puede interpretar precisamente como caso especial de la aplicación del teorema de Bayes.

math \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M2\right ]= \frac{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M2 \right ] \times P\left [M2 | N2]}{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | N2 \right ]}\\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M2\right ]= \frac{0.12 \times 0}{0.12} \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M2\right ]= 0 math

math \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M3\right ]= \frac{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M3 \right ] P\left [M3 | N3]}{P\left [(M1\cup M2\cup M3) | N3 \right ]} \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M3\right ]= \frac{0.12 \times 0}{0.12} \\ P\left [(M1\cup M2\cup M3) | M3\right ]= 0 math

Resuelto por:
 * Brenda Karin Peña Chávez
 * Andrés Felipe Trujillo Cárdenas