cap_5_mont_p_63

OK PUNTOS 0.5

=Capítulo 5, Problema 63=

Suponga que el número de partículas de asbesto en una muestra de un centímetro cuadrado de polvo es una variable aleatoria de Poisson con una media de 1000. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 centímetros cuadrados de polvo contengan más de 10000 partículas?


 * Solución**

Nos indican que: math E\left ( X \right )= 1000 \frac{\text{partes de asbesto}}{\text{cm}^{2} \text{ polvo}} math

Pero sabemos que la media de una variable aleatria de Poisson esta dada por: math E\left ( X \right )= \lambda math

De esta manera: math \lambda= 1000 \frac{\text{partes de asbesto}}{\text{cm}^{2} \text{ polvo}} math

Ahora como se analizan 10 centímetros cuadrados de polvo: math \lambda= \left (1000 \frac{\text{partes de asbesto}}{\text{cm}^{2} \text{ polvo}}\left ( 10 \text{cm}^{2} \text{ polvo} \right )= 10000 \text{ partes de asbesto} math

Luego afirmamos que: math P\left ( X> 10000 \right )= 1-P\left ( x\leq 9999 \right ) math

En este punto podemos hacer una aproximación normal a la distribución de Poisson que esta dada por: math Z= \left ( \frac{X-\lambda }{\sqrt{\lambda }} \right ) math

math F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda) math
 * For sufficiently large values of λ, (say λ>1000), the normal distribution with mean λ, and variance λ, is an excellent approximation to the Poisson distribution. If λ is greater than about 10, then the normal distribution is a good approximation if an appropriate continuity correction is performed, i.e., P(X≤x), where (lower-case) x is a non-negative integer, is replaced by P(X≤x+0.5).

Ahora: math P\left ( X> 10000 \right )= 1-P\left ( x\leq 9999 \right ) math math P\left ( X> 10000 \right )= 1-P\left ( z\leq \left ( \frac{9999-10000 }{\sqrt{10000 }} \right ) \right ) math math P\left ( X> 10000 \right )= 1-P\left ( z\leq \left -0.01 \right ) math math P\left ( X> 10000 \right )= 1-0.4960 math math P\left ( X> 10000 \right )= 0.504 math


 * Solucionado por:**
 * Carlos Eduardo Zapata
 * Iván Camilo Morales Buitrago