cap_5_mont_p_05

OK PUNTOS 0.5

=CAPITULO 5, EJERCICIO 05=

La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla de m componentes electrónicos en una copiadora (en horas) es: math f_X(x)=\frac{1}{1000}e^{-x/1000}, \text{ para } x>0 math

Determine la probabilidad de que:
 * a.** Un componente dure mas de 300 horas antes de fallar.
 * b.** Un componente falle en un intervalo de 1000 a 2000 horas.
 * c.** Un componente falle antes de 1000 horas.
 * d.** Determine el número de horas en que 10% de los componentes han fallado.

Solución:
math p (x>3000)=\int_{3000}^{\infty}\frac{e^{-x/1000}}{1000}dx math math p (x>3000)=1-\int_{-\infty}^{3000}\frac{e^{-x/1000}}{1000}dx=1-\int_{0}^{3000}\frac{e^{-x/1000}}{1000}dx=1-(\frac{1}{1000}\int_{0}^{3000}e^{-x/1000}dx) math
 * a.**

La solución de esta integral se realiza por sustitución, haciendo u= -x/1000 y quedaría: math \int_{0}^{3000}e^{-x/1000}dx=-1000\int_{0}^{3000}e^{u} du= -1000(e^{-3000/1000}-e^{-0/1000}) math math =-1000(e^{-3}-e^{0})=-1000(-0,9502) math

Remplazando: math p (x>3000)=1-(\frac{1}{1000}(-1000(-0,9502))=1-(0,95021)=\boxed{0,0498}\qquad \checkmark math

math p (1000<x<2000)=\int_{1000}^{2000}\frac{e^{-x/1000}}{1000}dx=\frac{1}{1000}\int_{1000}^{2000}e^{-x/1000}dx math
 * b.**

Resolvemos la integral: math \frac{1}{1000}\int_{1000}^{2000}e^{-x/1000}dx=\frac{1}{1000}(-1000\int_{1000}^{2000}e^{u}du) math math =\frac{1}{1000}(-1000(e^{-2000/1000}-e^{-1000/1000})=\frac{1}{1000}(-1000(e^{-2}-e^{-1}) math

Remplazando: math p (1000<x<2000)=\frac{1}{1000}(-1000(e^{-2}-e^{-1})=\frac{1}{1000}(-1000(-0,2325)) math math p (1000<x<2000)=\boxed{0,2325}\qquad \checkmark math

math p (x<1000)=\int_{-\infty}^{1000}\frac{e^{-x/1000}}{1000}dx math math p (x<1000)=\int_{0}^{1000}\frac{e^{-x/1000}}{1000}dx=\frac{1}{1000}\int_{0}^{1000}e^{-x/1000}dx math
 * c.**

Resolvemos la integral: math \int_{0}^{1000}e^{-x/1000}dx=-1000(e^{-1}-e^{0})=-1000(-0,6321) math

Remplazando: math p (x<1000)=\frac{1}{1000}(-1000(-0,6321)=\boxed{0,6321}\qquad \checkmark math

math p (X\leq x)=0,10 math math \frac{1}{1000}\int_{0}^{h}e^{-x/1000}dx=0,10 math
 * d.**

Resolvemos la integral: math \int_{0}^{h}e^{-x/1000}dx=-1000(e^{-h/1000}-e^{0}) math

Remplazando: math \frac{1}{1000}\int_{0}^{h}e^{-x/1000}dx=0,10=\frac{1}{1000}(-1000(e^{-h/1000}-1})) math math 0,10=\frac{1}{1000}(-1000e^{-h/1000}+1000))=-e^{-h/1000}+1 math math ln(e^{-h/1000})=ln(1-0,1)\to -h/1000=-0,10536 math math h=\boxed{105,36 horas}\qquad \checkmark math

* Cristian Eduardo Polo C.   * Héctor Julio Rivera A.    * Felipe Uribe C.
 * Solucionado por:**